Определитель матрицы

Все курсы > Линейная алгебра > Занятие 5

Введем понятие определителя, который посредством всего лишь одного числа способен многое сказать о свойствах матрицы.

Продолжим работать в том же ноутбуке⧉

Площадь, задаваемая векторами

Возьмем матрицу расширения, которая увеличивает площадь, заданную векторами.

Определитель (determinant) матрицы показывает, какой будет площадь после трансформации.

Так как мы сказали, что мы изменяем не только базисные, но и все остальные векторы пространства, определитель, по сути, показывает насколько сжимается или расширяется векторное пространство при трансформации.

Посмотрим на сдвиг.

Напомню, что площадь параллелограмма можно найти, умножив основание на высоту.

Линейно зависимые векторы

Возьмем матрицу с линейно зависимыми столбцами.

Такая матрица располагает базисные векторы на прямой линии.

Как следствие, площадь после трансформации, а значит и определитель, равны нулю.

В случае трехмерной матрицы, в которой один из векторов был бы линейной комбинацией двух других, трехмерное пространство «схлопывалось» бы до двумерного (плоскости) и определитель также был бы равен нулю, потому что объем, задаваемый векторами был бы нулевым.

Если определитель равен нулю, то матрица $2 \times 2$ преобразует вектор в линию. Если не равен нулю, сохраняет двумерность пространства. Приведем еще один пример.

Возьмем следующую систему уравнений с линейно зависимыми строками и столбцами.

Такая матрица преобразований (первые три столбца) не описывает три линейно независимых базисных вектора. Один из них зависит от двух других. Если применить метод Гаусса, то получим

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Другими словами, $0x_3 = 0$, что предполагает, что у $x_3$ может быть бесконечное количество решений. Это значит, что в имеющейся у нас матрице недостаточно информации для нахождения всех трех неизвестных.

Напомню, что сингулярной (singular), вырожденной или необратимой матрицей называют квадратную матрицу, определитель которой равен нулю и которая не имеет обратной матрицы.

Одновременно, у такой матрицы с линейно зависимыми векторами нет обратной матрицы, так как если считать, что обратная матрица «отматывает» преобразование к исходному состоянию, при «схлопывании» пространства мы уже не сможем восстановить куб из плоскости, поскольку при изначальном преобразовании из куба в плоскость была потеряна часть информации.

Какой можно сделать вывод, если обратная матрица все-таки существует? При применении сначала одного преобразования, потом обратного, мы остаемся на месте. Именно это свойство описано в формуле $ AA^{-1} = A^{-1}A = I $, потому что единичная матрица $I$, будучи умноженной на любую матрицу, оставляет ее без изменений $ AI = IA = A $.

Рассмотрим это преобразование с точки зрения системы уравнений. Если определитель равен нулю, то трансформация понижает размерность, и соответственно нет возможности перенести вектор $ \mathbf x$ на вектор $ \mathbf b$ и обратно вектор $ \mathbf b$ на вектор $ \mathbf x$.

Единственная возможность найти решение при нулевом определителе, заключается в том, что вектор $\mathbf b$ должен находиться в пространстве пониженной размерности, формируемой матрицей $A$. К этой идее мы еще вернемся.

Отрицательный определитель

Отрицательный определитель меняет ориентацию пространства. Наиболее наглядной кажется следующая картинка.

Ссылка на видео про определитель⧉.

Свойства определителя

Рассмотрим свойства определителя более формально.

Свойство 1. Единичная матрица оставляет пространство без изменений. Ее определитель равен единице.

$$ det(I) = I $$

Свойство 2. Перестановка любых двух строк меняет знак определителя. В случае матрицы перестановок $P$

$$ det(P) = \begin{cases} 1, \text{четное число перестановок} \\ -1, \text{нечетное число перестановок} \end{cases} $$

Это правило легко продемонстрировать на матрице $2 \times 2$ с помощью формулы $ad-bc$

$$ det \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 $$

$$ det \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 $$

Свойство 3 (а). Если умножить строку матрицы на $t$, то и определитель умножается на $t$. Это логично, умножение константы $t$ на строку (то есть на один и тот же компонент каждого вектор-столбца) увеличивает объем n-мерного параллелепипеда, задаваемый этими векторами, в $t$ раз.

$$ \begin{pmatrix} ta & tb \\ c & d \end{pmatrix} \rightarrow t \cdot det \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $$

Свойство 3 (b).

$$ det \begin{vmatrix} a+a’ & b+b’ \\ c & d \end{vmatrix} = det \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + det \begin{vmatrix} a’ & b’ \\ c & d \end{vmatrix} $$

Свойство 4. Если две строки матрицы идентичны, то отпределитель равен нулю.

С одной стороны, перестановка двух одинаковых строк не должна менять знак определителя. С другой, по свойству 2 при перестановке строк знак определителя меняется. Условие $det(A) = -det(A)$ выполняется только, если определитель равен нулю.

Свойство 5. Если строки $i$ и $j$ не равны, то вычитание строки $t \cdot i, t \in \mathbb R$ из строки $j$ не изменит определителя.

Свойство 6. Если есть строка, заполненная нулями, то определитель равен нулю. Следует из свойства 3(а).

Свойство 7. Определитель треугольной матрицы является произведением элементов главной диагонали (решающих элементов). Примеры⧉. Из этого свойства выводится формула определителя.

Примечание. Знак определителя при этом должен соответствовать четному или нечетному количеству перестановок строк, если последние имели место.

Свойство 8. Определитель равен нулю, когда матрица сингулярна. Следует из свойства 6.

Свойство 9. $det(AB) = (detA)(detB) $. Это логично, если считать, что определители $A$ и $B$ увеличивают пространство в $s$ и $t$ раз соотвественно, то вместе они увеличивают пространство в $st$ раз. Отсюда следует, что

$$ det (A^{-1}A) = 1 \rightarrow det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $$

$$ det (A^2) = (det (A))^2 $$

$$ det (2A) = 2^n (det (A)) $$

Последнее следует из свойства 3(а), примененного к каждой строке. Это также соответствует тому факту, что если вдвое увеличить длину, ширину и высоту, то объем вырастет в $2^3 = 8$ раз.

Свойство 10. $det (A^T) = det (A) $. На последующих занятиях мы узнаем, что матрицу $A$ можно разложить на компоненты $LU$, где $L$ — нижнетреугольная матрица с единицами на главной диагонали, а $U$ — верхне диагональная матрица. Тогда,

$$ det(A^T) = det(A) $$

$$ det(U^TL^T) = det(LU)$$

По свойствам 9 и 7,

$$ det(U^T) \cdot det(L^T) = det(L) \cdot det(U) $$

$$ det(L^T) = det(L) = 1 \rightarrow det(U^T)=det(U)$$

Так как $U$ — верхне треугольная матрица, то по свойству 7

$$ U^T = U $$

$$ det(U^T)=det(U) $$

$$ det(A^T) = det(A) $$

Как следствие, свойства, применимые к строкам матрицы, применяются и к столбцам.

Формула определителя и теорема Лапласа

Возьмем матрицу $ \underset{n \times n} A $. Тогда формулу для нахождения определителя можно записать как

$$ det(A) = \sum_{n!} \pm a_{1 \alpha}, a_{2 \beta}, a_{3, \gamma},…, a_{n, \omega} $$

где $\{ \alpha, \beta, \gamma, …, \omega \}$ — перестановки столбцов $(1, 2, …, n)$.

Кроме этого, определитель можно вычислить по теореме Лапласа (Laplace expansion, cofactor expansion). Подробнее здесь⧉.

Определитель и обратная матрица

Возьмем матрицу и предположим, что она преобразовывает площадь, задаваемую базисными векторами в параллелограмм.

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

Формула для расчета определителя $ad-bc$ одновременно является площадью этого параллелограмма. Теперь выполним умножение на эту же матрицу, но элементы главной диагонали (leading diagonal) поменяем местами, а у элементов на побочной диагонали (off-diagonal) — знак.

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} $$

Если элементы этой матрицы разделить на $\frac{1}{ad-bc}$, то получится единичная матрица. Как следствие, можно сказать, что

$$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

Идея здесь в следующем: обратная матрица состоит из обратного преобразования, т.е. матрицы $\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ и обратного масштабирующего фактора $\frac{1}{det(A)}$.

Дополнительные материалы:

• Взаимосвязь обратной матрицы и теоремы Лапласа, метод Крамера⧉
• Геометрическое объяснение метода Крамера⧉

Подведем итог

Мы познакомились с понятием определителя, его связью с линейной независимостью векторов, а также изучили свойства определителя.

Рассмотрим ранг и фундаментальные подпространства матрицы.